Refraction

Angle

A0 = ArcTan[I1 - I0, J1 - J0]

A1 = ArcTan[I2 - I1, J2 - J1]

A2 = ArcTan[I3 - I2, J3 - J2] <br />

T1 = ArcTan[n1 - I1, m1 - J1]

T2 = ArcTan[n2 - I2, m2 - J2] <br />

B1 = A0 - π

B2 = A1 - π<br />

n Sin[Q1] = Sin[R1]

n Sin[T1 - A1] == Sin[B1 - T1]

n Sin[T1 - A1] == -Sin[A0 - T1] <br />

Sin[Q2] == n Sin[R2]

Sin[T2 - A2] == n Sin[B2 - T2]

Point 0

P0 : {I0, J0, 0}

A0

A0 = ArcTan[I1 - I0, J1 - J0]

Point 1

Surface 1

y == a1 x^2 + b1

a1 x^2 - (y - b1) == 0

Point 1

P1 : {I1, J1, 0}

a1 I1^2 - (J1 - b1) == 0

V1

{2 a1 I1, -1, 0}

L1

(x - I1)/(2 a1 I1) == (y - J1)/-1 == t1

eP1

{2 a1 I1 t1 + I1, J1 - t1, 0}

a1 (2a1 I1 t1 + I1)^2 - (J1 - t1 - b1) == 0

a1 I1^2 + b1 == J1

{I1, a1 I1^2 + b1, 0}

{n1, m1, 0} == {-2 a1 I1 + I1, J1 - 1, 0}

A1

A1 = ArcTan[I2 - I1, J2 - J1]

T1 = ArcTan[n1 - I1, m1 - J1] <br />

B1 = A0 - π

n Sin[Q1] = Sin[R1]

n Sin[T1 - A1] == Sin[B1 - T1]

n Sin[T1 - A1] == -Sin[A0 - T1]

Solve[n Sin[T1 - A1] == -Sin[A0 - T1], A1]//InputForm

A1→T1 + ArcSin[Sin[A0 - T1]/n]

Point 2

Surface 2

y == b2

y - b2 == 0

Point 2

P2 : {I2, J2, 0}

J2 - b2 == 0

Solve[{J2 == Tan[A1] (I2 - I1) + J1, J2 == b2}, {I2, J2}]

{I2→ -Csc[A1] (-b2 Cos[A1] + J1 Cos[A1] - I1 Sin[A1]), J2→b2}

V2

{0, 1, 0}

L2

(y - J2)/1 == t2

eP2

{I2, J2 + t2, 0}

J2 + t2 - b2 == 0

b2 == J2

{I2, b2, 0}

{n2, m2, 0} == {I2, J2 + t2, 0}

A2

A2 = ArcTan[I3 - I2, J3 - J2]

T2 = ArcTan[n2 - I2, m2 - J2]

B2 = A1 - π

Sin[Q2] == n Sin[R2]

Sin[T2 - A2] == n Sin[B2 - T2]

Sin[T2 - A2] == n Sin[A1 - π - T2]

Sin[T2 - A2] == -n Sin[A1 - T2]

Solve[Sin[T2 - A2] == -n Sin[A1 - T2], A2]

A2→T2 + ArcSin[n Sin[A1 - T2]]

Point 3

Surface 3_back

y == b3

y - b3 == 0

Point3

P3 : {I3, J3, 0}

J3 - b3 == 0

Solve[{J3 == Tan[A2] (I3 - I2) + J2, J3 == b3}, {I3, J3}]

{{I3→ -Csc[A2] (-b3 Cos[A2] + J2 Cos[A2] - I2 Sin[A2]), J3→b3}}

Surface 3

x == a3 y^2 + b3

x - a3 y^2 - b3 == 0

Point 3

P3 : {I3, J3, 0}

I3 - a3 J3^2 - b3 == 0

Solve[{J3 == Tan[A2] (I3 - I2) + J2, I3 == a3 J3^2 + b3}, {I3, J3}]//InputForm

V3

{1, -2 a3 J3, 0}

L3

(x - I3)/1 == (y - J3)/(-2 a3 J3) == t3

eP3

{I3 + t3, -2 a3 J3 t3 + J3, 0}

(I3 + t3) - a3 ( -2 a3 J3 t3 + J3)^2 - b3 == 0

I3 == a3 J3^2 + b3

{a3 J3^2 + b3, J3, 0}

{n3, m3, 0} == {I3 + 1, -2 a3 J3 + J3, 0}

A3

A3 = ArcTan[I4 - I3, J4 - J3]

T3 = ArcTan[n3 - I3, m3 - J3] <br />

B3 = A2 - π

n Sin[Q3] = Sin[R3]

n Sin[T3 - A3] == Sin[B3 - T3]

n Sin[T3 - A3] == -Sin[A2 - T3]

Solve[n Sin[T3 - A3] == -Sin[A2 - T3], A3]//InputForm

A3 -> T3 + ArcSin[Sin[A2 - T3]/n]

Point 4

Surface 4

x == b4

x - b4 == 0

Point 4

P4 : {I4, J4, 0}

I4 - b4 == 0

Solve[{J4 == Tan[A3] (I4 - I3) + J3, I4 == b4}, {I4, J4}]

{J4→J3 + b4 Tan[A3] - I3 Tan[A3], I4→b4}

V4

{1, 0, 0}

L4

(x - I4)/1 == t4

eP4

{I4 + t4, J4, 0}

I4 + t4 - b4 == 0

b4 == I4

{b4, J4, 0}

{n4, m4, 0} == {I4 + t4, J4, 0}

A4

A4 = ArcTan[I5 - I4, J5 - J4]

T4 = ArcTan[n4 - I4, m4 - J4]

B4 = A3 - π

Sin[Q4] == n Sin[R4]

Sin[T4 - A4] == n Sin[B4 - T4]

Sin[T4 - A4] == n Sin[A3 - π - T4]

Sin[T4 - A4] == -n Sin[A3 - T4]

Solve[Sin[T4 - A4] == -n Sin[A3 - T4], A4]

A4→T4 + ArcSin[n Sin[A3 - T4]]

Point 5

Surface 5_back

x == b5

x - b5 == 0

Point5

P5 : {I5, J5, 0}

I5 - b5 == 0

Solve[{J5 == Tan[A4] (I5 - I4) + J4, I5 == b5}, {I5, J5}]

{J5→J4 + b5 Tan[A4] - I4 Tan[A4], I5→b5}

Reference

A = ArcTan[i2 - i1, j2 - j1]

B = ArcTan[i0 - i1, j0 - j1]

T = ArcTan[n1 - i1, m1 - j1]

(Q1≥0, Q2≥0, A≥0, B≥0, T≥0)

Q1 = T - A

Q2 = T - π - B

Sin[Q1] = n Sin[Q2]

Sin[T - A] = n Sin[T - π - B]

Sin[T - A] = n Sin[B - T]

[Graphics:HTMLFiles/120304_Refraction_120.gif]

A0 = ArcTan[i1 - i0, j1 - j0]

A1 = ArcTan[i2 - i1, j2 - j1]

T1 = ArcTan[n1 - i1, m1 - j1]

B1 = A0 - π

n Sin[Q1] = Sin[R1]

n Sin[T1 - A1] = Sin[B1 - T1]

n Sin[T1 - A1] == -Sin[A0 - T1]

A1→T1 + ArcSin[Sin[A0 - T1]/n]

A2 = ArcTan[i3 - i2, j3 - j2]

T2 = ArcTan[n2 - i2, m2 - j2]

B2 = A1 - π

Sin[Q2] = n Sin[R2]

Sin[T2 - A2] = n Sin[B2 - T2]

Sin[T2 - A2] == -n Sin[A1 - T2]

A2→T2 + ArcSin[n Sin[A1 - T2]]