Vector

평면직교좌표계

P (x_1, y_1), Q (x_2, y_2)

a_1 = x_2 - x_1

a_2 = y_2 - y_1

Overscript[PQ, →] =[x_2 - x_1, y_2 - y_1] =[a_1, a_2]

공간직교좌표계

P (x_1, y_1, z_1), Q (x_2, y_2, z_2)

Overscript[PQ, →] =[x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1] =[a_1, a_2, a_3]

Scalor

실상수 c, 벡터 a =[a_1, a_2, a_3]

ca =[ca_1, ca_2, ca_3]

unit vector

basis vector - i, j, k (x, y, z축 방향)

Overscript[OP, →] = a_1i + a_2j + a_3k = a

R^n - e_1, e_2, …, e_n

a = a_1e_1 + a_2e_2 + … + a_ne_n

내적

inner product

a·b=|a||b|Cos[θ]

Cos[θ] = (a·b)/(| a || b |) = (a·b)/((a·a)^(1/2) (b·b)^(1/2))

a =[a_1, a_2, a_3], b =[b_1, b_2, b_3]

a·b = (a_1i + a_2j + a_3k) · (b_1i + b_2j + b_3k)

= a_1i· (b_1i + b_2j + b_3k) + a_2j· (b_1i + b_2j + b_3k) + a_3k· (b_1i + b_2j + b_3k)

= a_1b_1i·i + a_1b_2i·j + a_1b_3i·k + a_2b_1i·i + a_2b_2i·j + a_2b_3i·k + a_3b_1i·i + a_3b_2i·j + a_3b_3i·k

i·i = j·j = k·k = 1

i·j = j·k = k·i = 0

a·b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

한일 = (운동방향의 힘의 크기) × (움직인 거리) = (F Cos[θ]) (| r |) = F·r

평면상의 직선

두점 P_0 (x_0, y_0), P_1 (x_1, y_1) 을 지나는 직선 g상의 임의점을 P (x, y) 라 하자

P_0, P_1, P의 위치벡터를 각각 X_0, X_1, X라 하고, X_0 = x_0i + y_0j, X_1 = x_1i + y_1j, X = x i + y j

이라면, Overscript[P_0P, →] = X - X_0, Overscript[P_0P_1, →] = X_1 - X_0

이고, Overscript[P_0P, →] 는Overscript[P_0P_1, →] 의 몇배가 되므로

Overscript[P_0P, →] = rOverscript[P_0P_1, →]

으로 나타내지며, 이 식은

X - X_0 = r (X_1 - X_0)

X = X_0 + r (X_1 - X_0)

x = x_0 + r (x_1 - x_0)

y = y_0 + r (y_1 - y_0)

매개변수 r 소거

(x - x_0)/(y - y_0) = (x_1 - x_0)/(y_1 - y_0)

Hesse

ΔOHP 에서 Overscript[OP, →] = X, Overscript[OH, _] = p 라면 Overscript[OP, →] ·t = Overscript[OH, _] 이므로

X·t = p 또는 (xi + yj) · (Cos[θ] i + Sin[θ] j) = p

따라서 직선 g의 방정식은

x·t = x Cos[θ] + y Sin[θ] = p

Cos[θ] i + Sin[θ] j는 직선 g에 수직인 단위벡터

점P_0(x_0,y_0) 를 지나고, 방현여현이 (λ,μ)인 직선

λ = Cos[α], μ = Cos[β] (= Sin[α])

단위 벡터 t = λi + μj 는 직선 g에  평행이므로 s = Overscript[P_0P, _] 라면

Overscript[P_0P, →] = s t (t = λi + μj)

따라서 직선 g의 방정식은 X =[x, y], X_0 =[x_0, y_0], t =[λ, μ] 이라면

X - X_0 = st 또는 X = X_0 + st (s는 매개변수) 또는 (x - x_0)/λ = (y - y_0)/μ

x = x_0 + sλ, y = y_0 + sμ, z = z_0 + sν 또는 (x - x_0)/λ = (y - y_0)/μ = (z - z_0)/ν

로 나타내진다 .

평면의 방정식

점 P_0 (x_0, y_0, z_0) 를 지나고, 벡터 a에 수직인 평면

a·Overscript[P_0P, →] = 0

이고, Overscript[P_0P, →] = x - x_0, a = ai + bj + ck이므로

a·Overscript[P_0P, →] = (ai + bj + ck) · (x - x_0)

= (ai + bj + ck)[(x - x_0) i + (y - y_0) j + (z - z_0) k]

= a (x - x_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0)

a x + b y + c z = d

방향여현

λ = Cos[α], μ = Cos[β], ν = Cos[γ]

λ^2 + μ^2 + ν^2 = Overscript[OA, _]^2 + Overscript[OB, _]^2 + Overscript[OC, _]^2 = Overscript[OH, _]^2 + Overscript[HP, _]^2 = Overscript[OP, _]^2 = | N |^2 = 1

∴λ^2 + μ^2 + ν^2 = 1

또는  Cos[α]^2 + Cos[β]^2 + Cos[γ]^2 = 1

a (x - x_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0 에 의하여

λ (x - x_0) + μ (y - y_0) + ν (z - z_0) = 0

또는 λ x + μ y + ν z = λ x_0 + μ y_0 + ν z_0 = p, λ^2 + μ^2 + ν^2 = 1

이것을 평면의 방정식의 표준형이라 한다 .

N·x_0 = (λi + μj + νk) · (x_0i + y_0j + z_0k)

= λ x_0 + μ y_0 + ν z_0 = p

외적(벡터곱)

cross product

| a×b | = | a | | b | Sin[γ]

a×b = | a | | b | Sin[γ] u (0≤γ≤π)

a×b = | {{i, j, k}, {a_1, b_1, c_1}, {a_2, b_2, c_2}} | = ({{i, j, k}, {a_1, b_1, c_1}, {a_2, b_2, c_2}})//Det = (a_2b_3 - a_3b_2) i + (a_3b_1 - a_1b_3) j + (a_1b_2 - a_2b_1) k

= | {{a_2, a_3}, {b_2, b_3}} | i - | {{a_1, a_3}, {b_1, b_3}} | j + | {{a_1, a_2}, {1, b_2}} | k

= Det[({{a_2, a_3}, {b_2, b_3}})] i - Det[({{a_1, a_3}, {b_1, b_3}})] j + Det[({{a_1, a_2}, {1, b_2}})] k

= (a_2b_3 - a_3b_2) i + (a_3b_1 - a_1b_3) j + (a_1b_2 - a_2b_1) k

3중적 (scalar triple product)

이평행6면체의 부피는 a, b, c가 오른손 법칙이면

V = h S = (a·N) (| b×c |) = a· {b×c | N} = a· (b×c)

a, b, c가 오른손 법칙이 아니면, 부피는 | a· (b×c) | 이다 .

a = a_1i + a_2j + a_3k, b = b_1i + b_2j + b_3k,, c = c_1i + c_2j + c_3k 라면

a· (b×c) = a· | {{i, j, k}, {b_1, b_2, b_3}, {c_1, c_2, c_3}} | = (a_1i + a_2j + a_3k) ·[(b_2c_3 - b_3c_2) i - (b_1c_3 - b_3c_1) j + (b_1c_2 - b_2c_1) k]

= a_1 (b_2c_3 - b_3c_2) - a_2 (b_1c_3 - b_3c_1) + a_3 (b_1c_2 - b_2c_1)

= a_1 | {{a_2, a_3}, {b_2, b_3}} | -a_2 | {{a_1, a_3}, {b_1, b_3}} | +a_3 | {{a_1, a_2}, {1, b_2}} | = | {{a_1, a_2, a_3}, {b_1, b_2, b_3}, {c_1, c_2, c_3}} |

곡면의 벡터방정식

∂r/∂u×∂r/∂v≠0

접평면의 단위법선벡터

N = (∂r/∂u×∂r/∂v)/(| ∂r/∂u×∂r/∂v |)