Parabola

포물선의 정의

포물선의 방정식

일반형

x축에 평행한 축을 가진 포물선 ⇒ y^2 + a x + b y + c = 0 (a≠0)

y축에 평행한 축을 가진 포물선 ⇒ x^2 + a x + b y + c = 0 (b≠0)

표준형

y^2 = 4P x (P>0), (y - β)^2 = 4P (x - α)

x^2 = 4P y (P>0), (x - α)^2 = 4P (y - β)

포물선의 꼭지점,초점,준선,축,통경

꼭지점: (0,0)

초점: F(P,0) {y^2=4P x}, F(0,P) {x^2=4P y}

준선: 직선 λ

x = -P {y^2 = 4P x}, y = -P {x^2 = 4P y} (P≠0)

축 (주축)

y = 0 {y^2 = 4P x}, x = 0 {x^2 = 4P y}

통경: Overscript[TT^′, _], 거리:| 4P |

포물선과 직선과의 위치 관계

직선 : y = m x + n

포물선 : y^2 = 4P x

x에 관한 판별식 : D

D>0⇒서로 다른 두점

D = 0⇒접점

D<0⇒허근

접선의 방정식

정점(x_1,y_1)

y^2 = 4P x 위의 점 ⇒y_1y = 2P (x + x_1)

x^2 = 4P y 위의 점 ⇒x_1x = 2P (y + y_1)

기울기 m

판별식 이용 D = 0⇒y = m x + b에서 b를 구함

y^2 = 4P x ⇒y = m x + P/m (m≠0)

x^2 = 4P y ⇒y = m x - P m^2

밖의 한점 (x_1, y_1) (2개의 접선 생김)

판별식 D = 0, 기울기 m ⇒y = m (x - x_1) + y_1

판별식 D

a x^2 + b x + c = 0 (a≠0)

D = b^2 - 4 a c

Ellipse

타원의 정의

타원의 방정식

일반형

a x^2 + b y^2 + c x + d y + e = 0 (a b>0, a≠b)

표준형

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, (x - α)^2/a^2 + (y - β)^2/b^2 = 1

매개변수형

x = a Cos[θ], y = b Sin[θ] (0≤θ<2π)

a>b인 타원의 초점,준선,장(단)축,통경,이심률

초점

(± (a^2 - b^2)^(1/2), 0)

준선

x = ±a/e = ±a^2/(a^2 - b^2)^(1/2)

장축의 길이 = 2a

단축의 길이 = 2b

통경의 길이 = (2b^2)/a

이심률

e = (a^2 - b^2)^(1/2)/a = Cos[θ] (0<e<1)

※ b>a인 경우는 a↔b와  x,y 좌표를 바꾸어야 함.

타원과 접선

기울기 m인 접선

y = m x± (a^2m^2 + b^2)^(1/2)

곡선 위의 점 (x_1, y_1) 에서의 접선

(x_1x)/a^2 + (y_1y)/b^2 = 1

x^2 + y^2 = a^2 + b^2 (준원 : director circle of conic)

y_1 = m x_1± (a^2m^2 + b^2)^(1/2)

, 즉, m^2 (x_1^2 - a^2) - 2m x_1y_1 + y_1^2 - b^2 = 0

의 두 근이므로

m_1m_2 = (y_1^2 - b^2)/(x_1^2 - a^2) = -1

. 따라서

x^2 + y^2 = a^2 + b^2

∴타원 (x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, a>b>0) 을 고려하자 .

접선 : (x_1x)/a^2 + (y_1y)/b^2 = 1, b^2x_1x + a^2y_1y - a^2b^2 = 0, Overscript[OH, _] = (a^2b^2)/(b^4x_1^2 + a^4y_1^2)^(1/2)

법선 : y = (a^2y_1)/(b^2x_1) (x - x_1) + y_1 에서

x절편 : x_1 - (b^2x_1)/a^2 = (1 - b^2/a^2) x_1, Overscript[PA, _] = (b^4x_1^2 + a^4y_1^2)^(1/2)/a^2

∴Overscript[OH, _] ·Overscript[PA, _] = b^2

Hyperbola

쌍곡선의 정의

쌍곡선의 방정식

일반형

a x^2 + b y^2 + c x + d y + e = 0 (a b<0)

표준형

x^2/a^2 - y^2/b^2 = ±1, (x - α)^2/a^2 - (y - β)^2/b^2 = ±1

매개변수형

y = b Tan[θ], x = a Sec[θ] (0≤θ<2π)

x^2/a^2-y^2/b^2=1인 쌍곡선의 초점, 준선, 점근선, 이심률

초점

(± (a^2 + b^2)^(1/2), 0)

준선

x = ±a/e = ±a^2/(a^2 + b^2)^(1/2)

주축의 길이 = 2a

통경의 길이 = (2b^2)/a

점근선

y = ±b/ax

이심률

e = (a^2 + b^2)^(1/2)/a = Sec[θ] (e>1)

※ x^2/a^2-y^2/b^2=1인 경우는 a↔b와  x,y 좌표를 바꾸어야 함. 단, 점근선은 그대로이다.

쌍곡선과 접선(x^2/a^2-y^2/b^2=1인 경우)

기울기 m인 접선

y = m x± (a^2m^2 - b^2)^(1/2)

곡선 위의 점 (x_1, y_1) 에서의 접선

(x_1x)/a^2 - (y_1y)/b^2 = 1

x^2 + y^2 = a^2 - b^2 (준원 : director circle of conic)

y_1 = m x_1± (a^2m^2 - b^2)^(1/2)

, 즉, m^2 (x_1^2 - a^2) - 2m x_1y_1 + y_1^2 + b^2 = 0

의 두 근이므로

m_1m_2 = (y_1^2 + b^2)/(x_1^2 - a^2) = -1

. 따라서

x^2 + y^2 = a^2 - b^2

Overscript[AB, _],Overscript[CD, _]가 서로 다른 것을 수직이등분할 때,
Overscript[PA, _]·Overscript[PB, _]=Overscript[PC, _]·Overscript[PD, _]인 점 P의 자취는 등변쌍곡선이다.

을 정리하면 x^2 - y^2 = (a^2 - b^2)/2으로 등변쌍곡선이 된다 .

Overscript[ST, _]는 Overscript[PA, _]에 평행

T라 하면 Overscript[ST, _] 는 Overscript[PA, _] 에 평행이다 .

⇒접선 : (x_1x)/a^2 - (y_1y)/b^2 = 1, b^2x_1x - a^2y_1y - a^2b^2 = 0, S (a^2/x_1, 0)

타원,쌍곡선

타원·쌍곡선·포물선에 대한 여러 정리

① 타원 또는 쌍곡선 상의 한 점 P에 있어서의
법선 PN은 를 2개의 초점에 이어서 이루어지는 각을 이등분한다.

㉠ 타원 (x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1) 에 대해 P (x_1, y_1) 에서의

∴Overscript[F^′N, _] : Overscript[NF, _] = Overscript[F^′P, _] : Overscript[FP, _]

㉡ 쌍곡선 (x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1) 에 대해 P (x_1, y_1) 에서의

접선의 방정식은 (x_1x)/a^2 - (y_1y)/b^2 = 1, 접선의 기울기 m = (b^2x_1)/(a^2y_1), x 절편 = a^2/x_1

법선 y - y_1 = -(a^2y_1)/(b^2x_1) (x - x_1) 의 x절편 = x_1 (a^2 + b^2)/a^2 = x_1e^2,

Overscript[FP, _] = e x_1 - a, Overscript[F^′P, _] = e x_1 + a, Overscript[F^′Q, _] = a^2/x_1 + a e, Overscript[QF, _] = a e - a^2/x_1

∴Overscript[F^′Q, _] = a /x_1 (e x_1 + a) = a /x_1Overscript[PF^′, _], Overscript[QF, _] = a e - a^2/x_1 = a /x_1 (e x_1 - a) = a /x_1Overscript[PF, _]

∴Overscript[F^′Q, _] : Overscript[QF, _] = Overscript[PF^′, _] : Overscript[PF, _]

② 포물선 상의 한 점 P에 있어서의 법선 PN은 P를 지나고 축에 평행한 직선과 P를
초점 F에 이어서 이루어지는 직선이 이루는 각을 이등분한다.

⇒ 포물선 y^2 = 4p x (p>0) 을 고려

점 P에서의 접선의 방정식 y_1y = 2p (x + x_1) 에서

x절편은 - x_1 . Overscript[T_1F, _] = x_1 + p = Overscript[PF, _] 이므로

ΔFPT_1은 이등변 삼각형이고 동위각으로부터

∠T_1PF = ∠FT_1P = ∠TPX

∴법선 PN은 ∠FPX를 이등분한다 .

③ 정의

㉠ 원추(원뿔)곡선

㉡ 현(弦)

이차곡선과 직선과의 두 교점을 이은 선분

㉢ 직경(直徑)

㉣ 극선

임의의 점 P (x_1, y_1) 에 대해 a x^2 + 2h x y + b y^2 + 2g x + 2f y + c = 0에서

a x_1x + h (x_1 y + x y_1) + b y_1y + g (x + x_1) + f (y + y_1) + c = 0을

④ 원추곡선의 평행 현의 중점의 자취는 한 직경이다.

∵ 점 (x_1, y_1) 를 지나고 방향코사인이 (λ, μ) 인

직선의 방정식은x = x_1 + λl, y = y_1 + υl

㉠ 타원

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, y = -b^2/(a^2m) x

㉡ 쌍곡선

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1, y = b^2/(a^2m) x

㉢ 포물선

y^2 = 4p x, y = (2p)/m

⑤ a x^2 + 2h x y + b y^2 + 2g x + 2f y + c = 0위의 점 P (x_1, y_1) 에서의 곡선의 접선

a x_1x + h (x_1 y + x y_1) + b y_1y + g (x + x_1) + f (y + y_1) + c = 0을

a x_1^2 + 2h x_1y_1 + b y_1^2 + 2g x_1 + 2f y_1 + c = 0이므로

ρ^2 (a + 2h m + b m^2) + 2ρ[a x_1 + b y_1 + g + m (h x_1 + b y_1 + f)] = 0

은 두 근이 존재하며 ρ = 0이면 P에 대응되므로

∴ρ^2 (a + 2h m + b m^2) + 2ρ[a x_1 + b y_1 + g + m (h x_1 + b y_1 + f)] = 0

여기서 ρ는 곡선과 접선과의 교점에 대응되며 Q→P이면 ρ→0

m = (y - y_1)/(x - x_1) 을 대입하면, x (a x_1 + b y_1 + g) + y (h x_1 + b y_1 + f) = a x_1^2 + 2h x_1y_1 + b y_1^2 + g x_1 + f y_1 = -(g x_1 + f y_1 + c)

∴접선 : a x_1x + h ( x_1y + x y_1) + b y_1y + g (x + x_1) + f (y + y_1) + c = 0

⇒ 곡선과 L과의 교점을 A_1 (α_1, β_1), A_2 (α_2, β_2), A_1, A_2에서의

접선 A_1T_1의 방정식은

a α_1x + h (α_1y + β_1x) + b β_1y + g (α_1 + x) + f (β_1 + y) + c = 0

( * ) 로부터 접선A_1T_1은 P (x_1, y_1) 을 지남을 알 수 있다 .

⑦ 원추곡선의 초점의 극선은 그것에 대한 준선이다.

㉢ y^2 = 4p x →초점 (p, 0) 에서의 극선 : 0y = 2p (x + p) ∴x = -p : 준선

⑧ a x^2 + 2h x y + b y^2 + 2g x + 2f y + c = 0에서

㉡ h^2 - ab>0 이면 쌍곡선 또는 상교 2직선 : 쌍곡선류의 곡선

㉢ h^2 - ab = 0이면 포물선 또는 평행 2직선 : 포물선류의 곡선

⑨ a x^2 + 2h x y + b y^2 + 2g x + 2f y + c = 0의 중심 (x_0, y_0) ?

sol . (x_0, y_0) 이 원점이 되도록 평행이동을 고려하자

⑩ 이차곡선의 방정식의 표준화 : a x^2 + 2h x y + b y^2 + 2g x + 2f y + c = 0

㉠ h^2 - ab≠0

중심 (x_0, y_0) 을 구하여 원점을 (x_0, y_0) 에 옮겨 x, y의 1차 항을 없애고

표준형으로 된다 .

㉡ h^2 - ab = 0

이차곡면 6가지 타원면, 일엽쌍곡면, 이엽쌍곡면, 쌍곡포물면, 타원포물면, 주면

3개의 변수 x, y, z에 관한 2차식을 0으로 놓은 다음 방정식

a x^2＋b y^2＋c z^2＋2 h x y＋2 g x z＋2 f y z＋2 l x＋2 m y＋2 n z＋c＝0

① 타원면

x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1

② 일엽(一葉)쌍곡면

x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1

x2/a2＋y2/b2－z2/c2 = 1

③ 이엽쌍곡면

-x^2/a^2 + -y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1

④ 2차뿔면

x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 0, -x^2/a^2 - y^2/b^2 + z^2/c^2 = 0

⑤ 타원포물면

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 2z

⑥ 쌍곡포물면

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 2z

⑦ 기둥면[柱面]