Yoo, Kyunghwan

그림에서 빨강색 곡선이 원임을 보이자

Needs[

x = 1/2^(1/2) Cos[a] ; y = 1/2^(1/2) Sin[a] ; z = 1/2^(1/2) Cos[b] ; w = 1/2^(1/2) Sin[b] ;

q1 = ParametricPlot3D[{x/(1 - w), y/(1 - w), z/(1 - w)}, {a, 0, 2 π}, {b, 0, 2 π}, PlotPoints→50, DisplayFunction → Identity] ;

x1 = 1/2^(1/2) Cos[t] ; y1 = 1/2^(1/2) Sin[t] ; z1 = 1/2^(1/2) Cos[t] ; w1 = 1/2^(1/2) Sin[t] ;

q2 = ParametricPlot3D[{x1/(1 - w1), y1/(1 - w1), z1/(1 - w1)}, {t, 0, 2 π}, DisplayFunction → Identity] ;

x1 = 1/2^(1/2) Cos[t] ; y1 = 1/2^(1/2) Sin[t] ; z1 = 1/2^(1/2) Cos[2 π - t] ; w1 = 1/2^(1/2) Sin[2 π - t] ;

q3 = ParametricPlot3D[{x1/(1 - w1), y1/(1 - w1), z1/(1 - w1)}, {t, 0, 2 π}, DisplayFunction → Identity] ;

Show[q4, ViewPoint-> {-0.012, -3.384, 0.042}] ;

Show[q4, ViewPoint-> {-3.38, -0.016, -0.161}] ;

Show[q4, ViewPoint-> {-2.683, -0.181, 2.054}] ;

[Graphics:HTMLFiles/index_12.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_13.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_14.gif]

[Graphics:HTMLFiles/index_15.gif]

그림에서 빨강색 곡선이 원임을 보이자, 이 곡선을 매개변수로 이용하여 보면

x = 1/2^(1/2) Cos[t] ; y = 1/2^(1/2) Sin[t] ; z = 1/2^(1/2) Cos[t] ; w = 1/2^(1/2) Sin[t] ;

α = x/(1 - w) = Cos[t]/(2^(1/2) - Sin[t]) ;

β = y/(1 - w) = (2^(1/2) Sin[t])/(2 - 2^(1/2) Sin[t]) ;

γ = z/(1 - w) = Cos[t]/(2^(1/2) - Sin[t]) ;

이와 같은 값이 나온다. 잘보면 α와 γ값이 같다. 이것은 x=z인 평면위의 곡선임을 말해준다.
그러면 이 곡선을 y축을 중심으로 z=0인 평면위로 회전 시켜주면,

α = (2^(1/2) Cos[t])/(2^(1/2) - Sin[t]) ;

β = Sin[t]/(2^(1/2) - Sin[t]) ;

γ = 0 ;

가 된다 . 그림을 잘 보자 . 이 곡선은 (0, 1, 0) 을 중심으로 보면

α^2 + (β - 1)^2 = 2